英文名称：Introduction to nonlinear dynamics

课程编号：MECH3319

学时：38（含课外学时6）      学分：2

适用对象：力学、机械、动力、材料、通信、电气等专业的高年级本科生

先修课程：弹性力学、振动力学，数学物理方程，变分法等

使用教材及参考书：无教材，仅有课堂讲义。

参考书：

赵松年，非线性科学：它的内容、方法和意义，科学出版社，1994

凌复华，突变理论入门，上海科学技术文献出版社，1983

卢侃、孙建华编译，混沌学传奇，上海翻译出版公司，1991

高安秀树（日），分数维，地震出版社，1989

Soliton: an introduction, Cambridge, 1989

一、课程性质、目的和任务

非线性动力学，属于非线性科学的一个重要组成部分。自从上个世纪六十年代启蒙发展以来，已经成为一个重要的学科分支和热门研究领域，。一方面它提供了线性动力学理论向非线性领域发展的最基本的原理和方法，另一方面，它本身也可直接应用于许多工程实际系统之中，比如用于刚体与刚体系统、天体与宇航器的运动、控制系统、通讯系统，化工系统以及连续介质系统的分析等等。

非线性动力学是以非线性科学的基本原理为基础，用定性的、数值的、解析的或者实验的方法研究非线性系统的基本变化规律的新兴学科。其理论依据与研究方法具有一定的独特性，而其结论具有很大的普遍性。

工程力学专业开设这门课程，主要有两个目的：一是考虑到本科阶段所学知识基本上属于线性理论，对非线性理论很少涉及。为此，开设此课以扩展本专业学生的知识面，使其能够接触到比较新的科学思想与科学方法；二是介绍新现象和新方法，使得本专业的学生能够掌握一定的解决实际工程问题的现代方法。

二、教学基本要求

总体上，作为少学时选修课，非线性动力学入门的重点是介绍新概念、新思想、新方法和新原理。对于严格的理论只是从应用的观点给予相应的阐述。各部分的具体要求如下：

1．引论：介绍非线性的起源、现象；与线性

系统的比较。

2．分岔：掌握静态与动态分岔的概念；熟悉屈曲问题中的若干决定因素；了解突变理论与分岔理论的联系；掌握五种常见的静态分岔形式；了解动态分岔的几个常见类型；了解分岔与混沌的联系；掌握动态分岔一种分析方法；

3．混沌：掌握混沌的基本概念，作用机理以及表现形式；了解混沌的常见判别方法。了解混沌出现的条件；了解混沌的应用领域；

4．分形：掌握分形的概念；了解维数概念的起源以及常见定义方法；各种方法的优缺点及其适用范围；

5．孤立子：了解孤立波的形态及其独特的性态；掌握它与普通波的区别；了解孤立波的应用领域；

结合本课程的特点，主要培养学生在下述各方面的能力：

1．力学新思维：将实际问题抽象为力学模型时，可以更精确地建立其非线性模型。比如现代智能结构，其中涉及到力、电、磁、热等问题，完全可以由非线性动力学出发进行力学建模。在进行实验验证或数值求解时，可以考虑非线性动力学理论所提供的相应观点、方法和手段；

2．知识的综合运用能力：本课程涉及微分几何、拓扑学、变分法、泛函分析、振动理论、弹性力学等内容，一个问题的解决常常需要综合运用多门知识。

3．研究、探索问题的初步能力：非线性动力学是一门新兴的学科，其理论体系正在不断地发展以适应新领域（比如连续介质系统，多耦合场系统，控制系统等）的要求，这样就提供了大量的新问题需要深入思考与研究。

三、教学内容及要求

第一章  引论

第一节  从单摆谈起。小摆角情形下的线性近似解；大摆角情形下的精确解（椭圆函数）；解的多样性（振动解、转动解以及临界解）；

第二节  什么是非线性系统。首先讨论什么是线性系统；叠加原理；非线性系统举例（间隙，分段线性，迟滞系统，Hook定律，Ohm 定律）；

第三节  非线性的起源。几何非线性与物理非线性；   

第四节  什么是动力系统。严格的数学定义；力学系统举例；          

第五节  非线性系统的若干特征。(A)静态系统：多解性与分岔现象；(B)动态系统：(a)跳跃现象；(b)次谐和超谐振动；(c)自激振动；(d)混沌(Chaos)运动；

第六节  关于非线性现象（过程）的进一步讨论。MYTH 1：非线性方程一定比线性方程更容易求解吗？MYTH 2：解析解如果存在的话，将会给出（比定性分析）更多的有用信息吗？

第二章  分岔（Bifurcation）

第一节  静态分岔。概念与定义；举例；发生静态分岔的条件；静态分岔的基本问题及其难点；为什么要研究静态分岔？

第二节  突变理论简介。什么是突变理论；起源与现状；突变理论与分岔理论的关系；静态分岔的若干类型；缺陷的影响；完美事物易损原理；

第三节  动态分岔。极限集的概念；动态分岔的定义；举例（单摆的振动、圆柱绕流、Couette-Taylor流动、Benard-Rayleigh对流）；

第四节  动态分岔的若干类型。鞍结分岔；Hopf分岔；同宿分岔与异宿分岔；

第五节  分岔与混沌与湍流的关系。通往湍流的若干道路；(a)倍周期分岔；(b)Landau-Hopf道路；(c)Ruelle-Takens道路;(d)阵发混沌（intermittent chaos）; 切分岔；

第六节  分岔点附近的临界慢化现象。与相变的比较；单边慢化；分岔对参数的依赖关系；动态分岔的难点；Feigenbaum 常数；

第七节  分岔理论的若干应用。屈曲；模态跳跃；相变分析；

第三章      混沌（Chaos）

第一节  什么是混沌。确定性系统（线性与非线性）的输入输出分析；随机性系统（线性与非线性）的输入输出分析；混沌的含义；

第二节  历史背景。Lorenz方程；Poincare预言；Ueda系统；

第三节  混沌与随机性的区别。周期性；序的概念；可预测性；敏感性（对参数与初值）；

第四节  周期3意味着混沌（Li-York定理）。Sarkovskii更一般的定理；

第五节  混沌的机理。对于耗散系统，面包师变换；马蹄变换；揉面过程；物理解释一例（x_n+1=2x_n(mod1), x_n=(1/2+1/4+1/16+1/128)=.1101001，二进制）；

第六节  混沌的判别方法。时间历程；相图；Poincare截面；频谱与功率谱；Lyapunov指数；锁频与锁相现象；

第七节  混沌的若干应用。医学方面：生物信息分析；故障诊断；保密通信；混合过程；天气与地震预报；

第四章  分形（Fractal）

第一节  什么是分形。分形的含义；起源；举例（英国的海岸线有多长？Koch曲线；Cantor集；魔鬼阶梯）；

第二节  什么是维数。维数的直观概念；盒子维数（box-counting dimension或者容量维数）;某些分形体维数的计算（Koch曲线；Cantor集；Sierpinski三角形）；

第三节  维数的其他定义。(a)容量维的缺点；灰度；(b)点维数；(c)相关维数；信息维数；

第四节  分形的若干应用。(a)石油钻探；指形增长；(b)闪电、雪花、云的形状、棉花；(c)分布式电阻的击穿；(d)裂纹的扩展；(e)材料的断面分析；地层的断面分析；(f)混沌数据分析；

第四章      孤立子（Soliton）

第一节  什么是孤立子。孤立波的发现；四种常见的孤立波；孤立波与普通波的区别；

第二节  阻尼、色散与非线性。

第三节  孤立波实验。

第四节  Fermi-Pasta-Ulam模型。

第五节  K-Z 孤立子。

第六节  驻孤立波。

第七节  非线性发展方程的求解。逆散射反演方法；Backlund变换与非线性叠加公式；

第八节  孤立波的若干应用。(a)光纤通讯；(b)Yang-Mills 方程；(c)超导体中的Josephson结；(d)晶体中的非位错模型；

第五章  若干前沿问题评介

四、实践环节：观看录像或多媒体教学；驻孤

波的实验观察；倒立多摆的实验研究。

五、课内学时分配

六、课外学时分配

注：考核办法：读书或研究报告。

大纲制定者：张新华  执笔

          大纲审定者：徐  晖

          大纲批准者：陈振茂

          大纲校对者：黄上恒